## 5.14. alldifferent_consecutive_values

Origin
Constraint

$\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Argument
 $\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi \pi \pi }-\mathrm{\pi \pi \pi \pi }\right)$
Restrictions
 $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi },\mathrm{\pi \pi \pi }\right)$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$
Purpose

Enforce (1)Β all variables of the collection $\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }$ to take distinct values and (2)Β constraint the difference between the largest and the smallest values of the $\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }$ collection to be equal to the number of variables minus one (i.e.,Β there is no holes at all within the used values).

Example
$\left(β©5,4,3,6βͺ\right)$

The $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$ constraint holds since (1)Β all the values 5, 4, 3 and 6 are distinct and since (2)Β all values between value 3 and value 6 are actually used.

All solutions

FigureΒ 5.14.1 gives all solutions to the following non ground instance of the $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$ constraint: ${V}_{1}\beta \left\{0,1,3,4,5,6,7,8\right\}$, ${V}_{2}\beta \left[4,5\right]$, ${V}_{3}\beta \left[3,4\right]$, ${V}_{4}\beta \left[0,7\right]$, ${V}_{5}\beta \left[3,4\right]$, $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\beta ©{V}_{1},{V}_{2},{V}_{3},{V}_{4},{V}_{5}\beta ͺ\right)$.

Typical
$|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|>2$
Symmetries
• Items of $\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }$ are permutable.

• Two distinct values of $\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }$ can be swapped.

• One and the same constant can be added to the $\mathrm{\pi \pi \pi }$ attribute of all items of $\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }$.

Counting
 Length ($n$) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Solutions 4 12 48 240 1440 10080 80640 725760 7257600

Number of solutions for $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$: domains $0..n$

Keywords
Cond. implications

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)\beta €0$

Β Β Β  andΒ Β  $\mathrm{\pi \pi \pi ‘\pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)\beta ₯0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi }_\mathtt{0}$$\left(\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi },\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi }=|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|-1$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)>0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi }_\mathtt{0}$$\left(\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi },\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi }=|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $\mathrm{\pi \pi \pi ‘\pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)<0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi }_\mathtt{0}$$\left(\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi },\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi }=|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi ±\pi °\pi »\pi °\pi ½\pi ²\pi ΄},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi ±\pi °\pi »\pi °\pi ½\pi ²\pi ΄}=0$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|>0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi »\pi ΄\pi ½},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi »\pi ΄\pi ½}=1$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|>0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi »\pi ΄\pi ½},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi »\pi ΄\pi ½}=1$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi ‘}_\mathrm{\pi }$$\left(\mathrm{\pi Ό\pi °\pi },\mathrm{\pi \pi °\pi ½\pi Ί},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi Ό\pi °\pi }=$$\mathrm{\pi \pi \pi ‘\pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)-\mathrm{\pi \pi °\pi ½\pi Ί}$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi }_\mathrm{\pi }$$\left(\mathrm{\pi Ό\pi Έ\pi ½},\mathrm{\pi \pi °\pi ½\pi Ί},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi Ό\pi Έ\pi ½}=$$\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)+\mathrm{\pi \pi °\pi ½\pi Ί}$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|>0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi Ό\pi Έ\pi ½},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi Ό\pi Έ\pi ½}=1$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  withΒ  $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }.\mathrm{\pi \pi \pi }\right)=0$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi »},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi },\mathrm{\pi \pi Έ\pi \pi ΄}_\mathrm{\pi Έ\pi ½\pi \pi ΄\pi \pi  \pi °\pi »}\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi ½\pi  \pi °\pi »}=\left(|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|+\mathrm{\pi \pi Έ\pi \pi ΄}_\mathrm{\pi Έ\pi ½\pi \pi ΄\pi \pi  \pi °\pi »}-1\right)/\mathrm{\pi \pi Έ\pi \pi ΄}_\mathrm{\pi Έ\pi ½\pi \pi ΄\pi \pi  \pi °\pi »}$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi },\mathrm{\pi ²\pi \pi },\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β Β  whenΒ  $\mathrm{\pi ²\pi \pi }\beta \left[\beta €\right]$

Β Β Β  andΒ Β  $\mathrm{\pi }=|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|$.

$\beta ’$ $\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$

Β Β implies $\mathrm{\pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }_\mathrm{\pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi ²},\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }\right)$.

Arc input(s)

$\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }$

Arc generator
$\mathrm{\pi \pi Έ\pi Ώ\pi Ή}$$\beta ¦\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }\left(\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi \pi }\right)$

Arc arity
Arc constraint(s)
$\mathrm{\pi \pi \pi \pi ΄}$
Graph property(ies)
$\mathrm{\pi \pi \pi \pi \pi }$$\left(\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi },\mathrm{\pi \pi \pi }\right)=|\mathrm{\pi  \pi °\pi \pi Έ\pi °\pi ±\pi »\pi ΄\pi }|-1$